Suponha que a duração da vida útil X, em horas, de determinada válvula eletrônica seja uma variável aleatória com distribuição exponencial, com parâmetro ?. Sabe-se que essa válvula é fabricada por um determinado processo, que apresenta uma duração de vida esperada de 1.000 horas e que tem um custo C (por unidade) . Sabendo que, se uma dessas válvulas durar menos de 2.000 horas, uma multa M será imposta ao fabricante, calcule o custo esperado da válvula eletrônica E(C) para esse processo, considerando que o custo unitário é de R$ 25,00 e o valor da multa é de R$ 500,00, e assinale a opção correta.

Um analista de confiabilidade está interessado em estudar o tempo médio entre falhas consecutivas (TBF – Time Between Failures) em equipamentos hospitalares de alta complexidade. Para modelar essa variável aleatória contínua e não negativa, a distribuição Exponencial é frequentemente utilizada. Em relação às propriedades da distribuição Exponencial e suas aplicações em análise de confiabilidade, julgue os itens a seguir:

I. Se T ~ Exponencial (?) (com função densidade ƒ(t) = ? e^??t , t ? 0, e média 1/?), então a função de risco (taxa de falha) é constante e igual a ?, o que caracteriza ausência de memória: P (T > t + s ? T > s) = P (T > t).

II. A distribuição Exponencial é o único modelo contínuo com propriedade de falta de memória, e isso a torna inadequada para modelar equipamentos com desgaste (taxa de falha crescente), mas adequada para falhas aleatórias não relacionadas ao envelhecimento.

III. Se o número de falhas em um intervalo de tempo segue um processo de Poisson homogêneo com taxa ?, então o tempo entre falhas consecutivas segue uma distribuição Exponencial com média 1/?. Além disso, o tempo até a k-ésima falha segue uma distribuição Gama (Erlang) com parâmetros k e ?.

IV. Para uma amostra aleatória T₁, T₂, … , T_n i.i.d. Exponencial(?), o estimador de máxima verossimilhança de ? é ? = 1/T?, que é um estimador não viesado para ?.

V. O coeficiente de variação (CV) da distribuição Exponencial é igual a 1, independentemente do valor de ?, o que significa que o desvio padrão é igual à média. Esse é um critério diagnóstico útil para verificar a adequação do modelo exponencial a dados empíricos.

Assinale a alternativa com a sequência CORRETA (V/F):

No processo de implantação da Manutenção Centrada na Confiabilidade (RCM) para o sistema de água gelada de um edifício do Ministério Público, o Engenheiro responsável verificou que um conjunto motobomba apresentava comportamento compatível com um modelo exponencial de confiabilidade, com taxa de falhas constante de 0,0004 h?¹.

Para a resolução da questão, considere as aproximações a seguir e a variação linear entre elas: 

• e^-0,25 ? 0,78; 
• e^-0,50 ? 0,61.

Assim, a confiabilidade aproximada desse conjunto motobomba após 900 horas de operação contínua é de, aproximadamente,

 Em um setor administrativo de um órgão público, servidores analisam requerimentos de pagamento de diárias apresentados por agentes que realizaram deslocamentos a serviço. O tempo necessário para concluir a análise de um requerimento pode ser modelado por uma distribuição exponencial, com taxa média de conclusão de 0,5 requerimento por hora. Sabendo que a análise de determinado requerimento já durou pelo menos 1 hora, assinale a alternativa que apresenta, aproximadamente, a probabilidade de que ela dure mais de 3 horas no total. Considere, para fins de cálculo, e?¹ ? 0,3679, e?² ? 0,1353 e e?³ ? 0,0498.

Sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas segundo uma distribuição exponencial com parâmetro de taxa , cuja função densidade é:

Com base nessa amostra, analise as seguintes assertivas:

I. A função de log-verossimilhança de é:

II. A equação de máxima verossimilhança é:

III. O estimador de máxima verossimilhança de é:

IV. A segunda derivada da log-verossimilhança é positiva no ponto crítico, o que permite classificá-lo como ponto de máximo.

Quais estão corretas?