Questões de Concurso

O valor de

Em uma aula de Matemática, o professor divide os estudantes em quatro grupos para fazer uma roda de conversa sobre sequências.
Ele apresenta a sequência a_n = , na qual n pertence ao conjunto dos números inteiros positivos. Logo após, pergunta aos grupos qual é o comportamento dessa sequência à medida que o valor de n aumenta.
Cada grupo discute e compartilha sua resposta:
Grupo 1: a sequência diverge porque os sinais de a_n se alternam.
Grupo 2: a sequência tende para o infinito, pois seus termos ficam cada vez maiores.
Grupo 3: a sequência converge para zero, pois seus termos ficam cada vez menores e se aproximam cada vez mais de zero.
Grupo 4: a sequência tem como limite 1, pois a₁ = 1 e esse resultado determina os demais valores da sequência.

Qual grupo apresenta a conjectura correta sobre o comportamento dessa sequência?

Como estratégia para explorar a ideia intuitiva de limites introduzida por Karl Weierstrass, pode-se utilizar o limite de sequências e o método de Eudoxo-Arquimedes, também conhecido como o método da exaustão, o qual consiste na aproximação da área desejada por meio da divisão da região em polígonos de áreas suficientemente pequenas.
Como ilustração, uma professora apresentou aos estudantes de licenciatura em Matemática as figuras das iterações no cálculo da área sob o gráfico da função no intervalo [0,2].
Ela observou que a área da região desejada pode ser aproximada por uma soma de áreas de retângulos de mesma base e que a aproximação fica melhor à medida que essas bases ficam menores.
Nas figuras, as bases dos retângulos medem :
Área aproximada sob a curva no intervalo [0,2]: 1,6585
Método da exaustão para f (x) = , n = 10

Figura 1


Área aproximada sob a curva no intervalo [0,2]: 1,6163
Método da exaustão para f (x) = , n = 50
Figura 2

Ao variar os valores de n, observa-se que a área desejada é obtida por meio do limite 1,6054 em que refere-se à área do retângulo com base e altura

Qual alternativa expressa corretamente uma formalização para o cálculo da área desejada?

O valor do

Calcule o limite da seguinte função quando x → ∞.