Questões de Concurso

Seja k: (-1,1) → uma função C² que satisfaz k" (t) = c, ∀t∈(−1,1), em que c é um número real dado, é correto afirmar que

Em coordenadas cartesianas, uma função f in C^2 é dita harmônica se

Já em coordenadas polares, pode-se verificar se f é harmônica se tal função satisfaz

Assinale a alternativa que apresenta uma função u (r, ) em coordenadas polares que é harmônica.

Considerando f:²→² de classe C¹, analise as assertivas e assinale a alternativa a alternativa correta.

I. Se para todo ponto u ∈ existe uma vizinhança de u na qual f restrita a tal vizinhança é um difeomorfismo local, então f é um difeomorfismo sobre a sua imagem.

II. Dado um ponto u ∈ , se existir K > 0 para o qual |f’(u)⋅v|≥K|v|, para todo v ∈ ², então f é um difeomorfismo local em uma vizinhança de u.

III. Se existir u ∈ ponto singular de f, então não tem como f ser um difeomorfismo sobre sua imagem.

Com base no Problema de Valor Inicial

qual das seguintes alternativas corresponde ao valor do limite de y(t) quando t tende a +∞?

Preencha as lacunas e assinale a alternativa correta.

Mostraremos que, se existir uma função f ∈ C² tal que satisfaz a equação de Laplace f = 0 no disco unitário D ={(x, y) ∈ ²: x² + y² < 1} com a condição de bordo f (x, y) = (x, y) para pontos (x, y) ∈ D, então tal função é única. De fato, suponha que f e g são duas soluções para a equação de Laplace com a condição de bordo descrita.

Mostraremos que devemos ter f (x, y) = g(x, y), para todo (x, y) ∈ D. Note que a função h(x, y) = f (x, y) − g (x, y) é de classe C² e que h = ________________, para todo ponto em D. Também temos que h (x, y) = 0, para todo (x, y) ∈ D.

Aplicando a identidade de Green, obtemos _D|h|² dA = − _Dh hdA + hh., em que h denota o gradiente de h. Como h= 0 em D e h=0 emD, obtemos _D|h|² dA = 0.

Sendo |h|² uma função não negativa, concluímos que h = . Como D é um conjunto __________________, concluímos que h deve ser __________________ em D. Uma vez que h = 0 em D., segue que h é identicamente nula em D e que, portanto, f = g em D, como queríamos demonstrar.