A Lemniscata de Gerono corresponde à curva fechada cuja parametrização no plano pode ser dada por y (t) = (cos(t), sen(t)cos(t)), para t ∈ [0,2π]. Tal curva tem o formato que lembra o símbolo do infinito, e a região do plano delimitada por y corresponde a dois conjuntos abertos conexos. Assinale a alternativa que apresenta o valor correto da área total da região delimitada por y .

Considere o valor vetorial conservativo (x, y) = (e^x + y²,2xy) cuja função potencial é dada por f (x, y) = e^x + xy². Assinale a alternativa que apresenta corretamente o valor da integral de linha . sobre a curva parametrizada y (t) = (tcos(2πt), tsen (2πt)) com t ∈ [0,1].

Considere D ² um domínio regular sem fronteira e F (x, y)=(P(x, y), Q(x, y))um campo de classe C¹. O Teorema de Green garante que

Como corolário, podemos demonstrar a primeira identidade de Green, o qual afirma que, se F e g são funções reais de classe C¹ definidas em D, então

Nesse contexto, assinale a alternativa que apresenta em quais campos se deve aplicar o Teorema de Green para obter a identidade anterior.

Considere f uma função complexa holomorfa definida em conjunto aberto U e considere z₀ um ponto em U.

Suponha que o disco D ={z∈ℂ:|z−z₀| ≤ r} está contido em U e seja y o círculo correspondente ao bordo de D orientado no sentido anti-horário. A fórmula integral de Cauchy propõe que, nessas condições, há dz.

Nesse contexto, a respeito da fórmula da integralde Cauchy, assinale a alternativa INCORRETA.

f (x, y, z) = x +e^z . cos(y),

g (x, y, z) = y - z². sen(x),

h (x, y, z) = z - x² y² _.

Seja S a superfície correspondente à fronteira da região sólida limitada pelo paraboloide z = 1 - x² - y² e pelo plano z = 0, com orientação voltada para fora, assinale a alternativa que apresenta o valor correto de _s. , o fluxo do campo através de S.