Seja f a função real de variável real tal que

f(x) = −2x² + 2x + 12.

A área da região do primeiro quadrante que fica abaixo do gráfico de f e acima do eixo-x é

Vinte anos após o início da pesquisa, haverá menos de 25.000 indivíduos na referida comunidade.

A área da referida região é igual a 16 km² .

Como estratégia para explorar a ideia intuitiva de limites introduzida por Karl Weierstrass, pode-se utilizar o limite de sequências e o método de Eudoxo-Arquimedes, também conhecido como o método da exaustão, o qual consiste na aproximação da área desejada por meio da divisão da região em polígonos de áreas suficientemente pequenas.
Como ilustração, uma professora apresentou aos estudantes de licenciatura em Matemática as figuras das iterações no cálculo da área sob o gráfico da função no intervalo [0,2].
Ela observou que a área da região desejada pode ser aproximada por uma soma de áreas de retângulos de mesma base e que a aproximação fica melhor à medida que essas bases ficam menores.
Nas figuras, as bases dos retângulos medem :
Área aproximada sob a curva no intervalo [0,2]: 1,6585
Método da exaustão para f (x) = , n = 10

Figura 1


Área aproximada sob a curva no intervalo [0,2]: 1,6163
Método da exaustão para f (x) = , n = 50
Figura 2

Ao variar os valores de n, observa-se que a área desejada é obtida por meio do limite 1,6054 em que refere-se à área do retângulo com base e altura

Qual alternativa expressa corretamente uma formalização para o cálculo da área desejada?

Calcule a integral por partes da função: