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Durante as décadas passadas, um brinquedo bastante popular consistia em um quebra-cabeça deslizante, no qual pequenas peças quadradas deveriam ser movimentadas para reorganizar figuras ou palavras, utilizando sempre um espaço vazio para permitir os deslocamentos. Considere uma versão simplificada desse brinquedo, composta por 5 peças contendo letras e um espaço vazio (espaço em cinza), organizados em uma malha 2×3, conforme a configuração abaixo:
Captura_de tela 2026-06-03 185504.jpg (75×58)
Deseja-se reorganizar as peças para formar a configuração:
Captura_de tela 2026-06-03 185517.jpg (78×58)

Sabendo que, em cada movimento, apenas uma peça adjacente ao espaço vazio pode ser deslocada para ocupá-lo, é CORRETO afirmar que o número mínimo de movimentos necessários para atingir a configuração desejada é:
Distribua os números de 1 a 9, sem repetição, nos círculos do diagrama. O objetivo é que a soma dos três números em cada uma das linhas que formam os lados do losango, bem como a de sua diagonal, seja exatamente 17.

Captura_de tela 2026-05-05 181021.png (194×195)

Para que a soma dos números ao longo de cada uma das cinco linhas, (trios de círculos conectados), seja igual a 17, qual número deve ocupar, obrigatoriamente, a posição central da diagonal?
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Os números reais x, y, w e z foram colocados no quadriculado 2×2, conforme a figura abaixo, de forma que as somas das linhas e colunas sejam como indicadas nas margens. Imagem associada para resolução da questão

É correto afirmar que, necessariamente,
Captura_de tela 2026-03-12 154508.png (486×199)

Considerando a figura precedente, que representa uma sequência de quadrados, em que a1 representa um quadrado de lado unitário, formado por 4 palitos, a2 representa um quadrado formado por 4 quadrados unitários e por 12 palitos, a3 representa um quadrado formado por 9 quadrados unitários e 24 palitos, e assim por diante, julgue os itens seguintes.

I O quadrado a10 será formado por 100 quadrados unitários e 220 palitos.
II O número de palitos necessários para a formação de a1, a2, ... forma uma progressão geométrica de razão 3.
III Considerado o número de palitos que formam o quadrado ak, em que k é um número inteiro, serão necessários mais 4(k + 1) palitos para formar o quadrado ak + 1.

Assinale a opção correta.
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Gustavo, Heleno e Ícaro estão em uma fila para atendimento individualizado de um caixa, e sabe-se que Gustavo será atendido antes de Heleno que, por sua vez, será atendido antes de Ícaro. Adicionalmente, tem-se as seguintes informações:


• Existem 20 pessoas a serem atendidas entre Heleno e Ícaro;

• Heleno está na posição intermediária da fila, isto é, o número de pessoas que serão atendidas antes dele é igual ao número de pessoas que serão atendidas depois;

• Existem 14 pessoas a serem atendidas entre Gustavo e Heleno; e,

• Gustavo será a 24ª pessoa a ser atendida na fila.


De posse dessas informações, quantas pessoas serão atendidas após Ícaro?