Questões de Concurso

Preencha as lacunas e assinale a alternativa correta.

Mostraremos que, se existir uma função f ∈ C² tal que satisfaz a equação de Laplace f = 0 no disco unitário D ={(x, y) ∈ ²: x² + y² < 1} com a condição de bordo f (x, y) = (x, y) para pontos (x, y) ∈ D, então tal função é única. De fato, suponha que f e g são duas soluções para a equação de Laplace com a condição de bordo descrita.

Mostraremos que devemos ter f (x, y) = g(x, y), para todo (x, y) ∈ D. Note que a função h(x, y) = f (x, y) − g (x, y) é de classe C² e que h = ________________, para todo ponto em D. Também temos que h (x, y) = 0, para todo (x, y) ∈ D.

Aplicando a identidade de Green, obtemos _D|h|² dA = − _Dh hdA + hh., em que h denota o gradiente de h. Como h= 0 em D e h=0 emD, obtemos _D|h|² dA = 0.

Sendo |h|² uma função não negativa, concluímos que h = . Como D é um conjunto __________________, concluímos que h deve ser __________________ em D. Uma vez que h = 0 em D., segue que h é identicamente nula em D e que, portanto, f = g em D, como queríamos demonstrar.

f (x, y, z) = x +e^z . cos(y),

g (x, y, z) = y - z². sen(x),

h (x, y, z) = z - x² y² _.

Seja S a superfície correspondente à fronteira da região sólida limitada pelo paraboloide z = 1 - x² - y² e pelo plano z = 0, com orientação voltada para fora, assinale a alternativa que apresenta o valor correto de _s. , o fluxo do campo através de S.

Considere a função f: ² → ² definida por:

f (x, y) = (x² - y²,2xy).

Seja P = (1,1) um ponto no domínio de f e Q = f (1,1) = (0,2), acerca da invertibilidade local de f em torno do ponto P, assinale a alternativa correta.