Questões de Concurso

Em uma pesquisa com 80 estudantes de Matemática, foram investigados conhecimentos em três áreas: Álgebra, Geometria e Probabilidade. Verificou-se que 45 estudantes dominavam Álgebra,38 dominavam Geometria e 30 dominavam Probabilidade. Além disso,20 dominavam Álgebra e Geometria,15 dominavam Álgebra e Probabilidade e 12 dominavam Geometria e Probabilidade. Sabe-se que 8 estudantes dominavam as três áreas. A coordenação deseja determinar quantos pertencem à união dos três conjuntos. Para isso, devem ser consideradas interseções entre conjuntos, evitando a contagem duplicada de estudantes pertencentes a duas ou mais áreas. Com base nesses dados, determine a quantidade que domina pelo menos uma área.

Uma comissão organizadora de um congresso de Matemática precisa gerar códigos numéricos distintos para identificar os participantes. Cada código será formado por seis algarismos diferentes, escolhidos entre os algarismos de 0 a 9. O primeiro algarismo não poderá ser zero e deverá ser ímpar. O código deverá terminar em 0 ou em 5, garantindo uma condição específica de identificação. Além disso, exatamente dois dos seis algarismos deverão ser pares. A comissão deseja determinar quantos códigos diferentes podem ser produzidos obedecendo simultaneamente a todas essas condições. Para realizar a contagem, é necessário considerar separadamente os casos em que o último algarismo é 0 e aqueles em que é 5, pois essas escolhas alteram a quantidade de algarismos pares e ímpares disponíveis para as demais posições. Com base nessas condições, determine a quantidade total de códigos distintos que podem ser gerados pela comissão.

Considere o polinômio P(x) = x³ − 6x² + 11x − 6. Sabe-se que suas três raízes são números reais distintos. Um candidato à vaga de professor afirmou que, conhecendo apenas a soma das raízes e o produto das raízes, seria possível determinar individualmente cada uma delas. Com base nas propriedades dos polinômios, assinalar a alternativa que apresenta CORRETAMENTE as raízes de P(x).